Is the Bloch sphere a real, physical sphere?

No. The Bloch sphere is a mathematical visualization of a single-qubit state, not a physical object. Every pure state of one qubit corresponds to exactly one point on the surface of the unit sphere. Some quantum technologies (like Qubi) build a tangible model of it, but the underlying object lives in math.

What does a point on the Bloch sphere represent?

A direction. The arrow from the center of the sphere to a point on the surface tells you everything measurable about a pure single-qubit state: the probability of every measurement outcome, in every basis. The north pole is |0⟩, the south pole is |1⟩, and points around the equator are equal-weight superpositions with different relative phases.

How do you compute the Bloch vector from a state?

Write the state as |ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩. Then the Bloch vector is (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ). θ is the polar angle from the z-axis and φ is the azimuthal angle from the x-axis. Equivalently, x = ⟨X⟩, y = ⟨Y⟩, z = ⟨Z⟩ — the expectation values of the three Pauli operators.

Why is it called the Bloch sphere?

Named after Felix Bloch, the Swiss-American physicist who introduced the representation in 1946 in the context of nuclear magnetic resonance. The same geometry was independently used by Henri Poincaré for the polarization of light, so it's sometimes called the Bloch–Poincaré sphere.

Does the Bloch sphere only work for one qubit?

Yes — the surface picture is exact only for a single qubit. Two qubits live in a 6-dimensional state space that can't be drawn this cleanly. Useful generalizations exist (e.g., projecting one qubit at a time), but no two-qubit picture preserves all the same intuition.

Is the Bloch sphere only for pure states?

The surface represents pure states. Mixed states — statistical mixtures of pure states — sit inside the sphere. The whole solid ball is the Bloch ball; the maximally mixed state sits exactly at the center.

كرة بلوخ — مصوّر تفاعلي ودليل بلغة بسيطة

سأكون أول من يعترف: الكيوبتات يصعب فهمها. نحتاج جميعاً إلى تصورات مفيدة للإحاطة بالأشياء المعقدة.

تمثيل بلوخ هو تحويل بسيط من حالات الكيوبت إلى نقاط على كرة.

Single-qubit state

|ψ⟩ = 0.87 |0⟩ + 0.50 e^iφ |1⟩

0.33π

π/4

Try moving the sliders to see how the Bloch sphere changes!

Bloch sphere

كرة بلوخ تفاعلية، اسحب شريحتي θ وφ لرؤية كيف تتحرك حالة كيوبت فردي على الكرة.

تساعد كرة بلوخ بـ قطعتين رئيسيتين من الحدس.

الحدس #1

إذا قِست الكيوبت، فإن احتمال حصولك على نتيجة يعتمد على مدى محاذاة السهم لاتجاه تلك النتيجة. على سبيل المثال، نقطة على القطب العلوي لها فرصة 100% لقياس <ket0/>؛ نقطة على خط الاستواء تعطي احتمالات 50/50.

عند القطب العلوي

فرصة 100% لقياس <ket0/>

على خط الاستواء

فرصة 50-50 لقياس <ket0/> أو <ket1/>

(لكن فرصة 100% لقياس <ketPlus/>)

لا يجب أن تعرف هذا، لكن القاعدة الدقيقة هي <math/>، حيث α هي الزاوية بين السهم واتجاه النتيجة. تُعرف هذه بـ قاعدة بورن.

الحدس #2

تصمد نفس قاعدة المحاذاة لأي اتجاه قياس، لا لأعلى وأسفل فقط. كل محور عبر الكرة يحدد زوجاً من نتائج القياس عند قطبيه. قِس على المحور x والنتائج هي <ketPlus/> و<ketMinus/>. قِس على المحور y وهما <ketPlusI/> و<ketMinusI/>.

كيف نحسب تمثيل بلوخ؟

نعرف أنه يمكننا كتابة حالة كيوبت هكذا:

|ψ⟩ = α |0⟩ + β |1⟩

α و β أعداد مركبة، بحيث |α|² + |β|² = 1

من هاتين السعتين المركبتين، يمكننا حساب θ وφ:

اكتب α = |α| e^i φ_α و β = |β| e^i φ_β

ثم

θ = 2 arccos(|α|)·φ = φ_β − φ_α

للانتقال من زوايا بلوخ إلى متجه الحالة:

|ψ⟩ = cos(θ/2) |0⟩ + e^iφ sin(θ/2) |1⟩

θ ∈ [0, π] تميلك بين |0⟩ في الأعلى و|1⟩ في الأسفل. φ ∈ [0, 2π) تدورك حول خط الاستواء.

البوابات والقياسات

عندما تنظر إلى الكيوبتات باستخدام كرة بلوخ، يصبح كثير من رياضيات الحوسبة الكمومية بديهياً.

بوابات الكيوبت الفردي مجرد دورانات. كل بوابة كيوبت فردي هي دوران ثلاثي الأبعاد صلب للكرة حول محور ما، بزاوية ما. اختر بوابة أدناه وشاهد متجه الحالة يقوس إلى اتجاهه الجديد.

Click a gate to watch the state vector rotate.

كرة بلوخ تفاعلية مع أزرار البوابات الكمومية، اضغط H أو X أو Y لتطبيق بوابة وشاهد متجه الحالة يدور.

القياسات تُسقط الكرة إلى أي زوج من النقاط المتقابلة تقيس عليها. قِس على z وتقفز الحالة إلى <ket0/> أو <ket1/>. على x، تقفز إلى <ketPlus/> أو <ketMinus/>. احتمال كل نتيجة يحدده مدى ميل سهم الحالة الحالي بالفعل نحو ذلك القطب.

Pick an axis. The state collapses to one of the two opposite poles along it, with probability set by where the vector currently points.

عرض قياس كرة بلوخ، اختر محوراً لإسقاط الحالة عليه وشاهدها تنهار إلى أحد قطبين متعاكسين.

هل توجد كرات بلوخ في الواقع؟

نعم. لبعض أنواع الكيوبتات، كرة بلوخ ليست مجازاً.

أوضح مثال هو كيوبت سبين الإلكترون. الإلكترونات مغناطيسات صغيرة: لها عزم مغناطيسي يشير في اتجاه ما في الفضاء ثلاثي الأبعاد. ذلك الاتجاه هو متجه بلوخ. القطب الشمالي لكرة بلوخ = السبين يشير لأعلى في المختبر. القطب الجنوبي = السبين يشير لأسفل. أي مكان آخر على الكرة = السبين يشير إلى مكان آخر.

اتجاه سبين الإلكترون يتوافق واحداً لواحد مع متجه بلوخ.

بعض المتشددين سيشيرون إلى أنه، رغم أنه مفيد التفكير في سبين الإلكترون على أنه يشير في اتجاه، يمكنك فقط قياس السبين كـ «أعلى» أو «أسفل» على أي محور تختاره. لذا بدقة، السبين لا «يشير» إلى أي مكان حتى تقيسه.

عندما يكتب الفيزيائيون حالة مثل هذا الإلكترون، غالباً ما يتنقلون: حوّل اتجاه المختبر إلى (θ, φ)، استخرج متجه الحالة من الصيغة، أجرِ بعض الجبر، ثم حوّل مرة أخرى.

ما هو الطور النسبي؟

الطور النسبي هو الاسم المعطى لفرق الأطوار بين α وβ، عندما نكتب متجه الحالة هكذا:

|ψ⟩ = |α| e^i φ_α |0⟩ + |β| e^i φ_β |1⟩

الطور النسبي هو φ = φ_β − φ_α.

من الصعب الشعور بما يفعله الطور النسبي فعلاً، حتى تنظر إلى كيف اختُرعت شكلية متجه الحالة في المقام الأول.

الطريقة التي نكتب بها عادة حالة كمومية، <ketPsi/> = α<ket0/> + β<ket1/>، اختُرعت من قبل John von Neumann، الذي يُسمى غالباً أحد أذكى عقول القرن العشرين. لكن حتى von Neumann نفسه شكّ في أنها الطريقة الصحيحة لوصف ميكانيكا الكم. في عام 1935 كتب إلى عالم الرياضيات Garrett Birkhoff:

John von Neumann في Los Alamos — — John von Neumann، رسالة إلى Garrett Birkhoff، 1935.

كرة بلوخ أكثر بداهة: تتوافق مباشرة مع كيف تتصرف الكيوبتات فعلاً. لذا الطور النسبي على متجه حالة يُفكر فيه على أنه طريقة الشكلية لحمل بقية معلومات كرة بلوخ.

إذا خزّنا α وβ كأرقام حقيقية فقط، فإنها ستخبرنا فقط بالاحتمالات في أساس <ket0/>/<ket1/>. لكن يمكننا القياس في أي أساس (بما في ذلك <ketPlus/>/<ketMinus/> و<ketPlusI/>/<ketMinusI/>)، وللتنبؤ بتلك النتائج نحتاج أيضاً إلى معرفة φ.

الطور النسبي، في متجه الحالة، هو فقط طريقة لتخزين بقية المعلومات ثلاثية الأبعاد من كرة بلوخ. إنه مدمج في متجه الحالة بطريقة تمتد بسهولة إلى أكثر من كيوبت واحد، وهو ما سنصل إليه في الجزء التالي.

إذا كانت كرات بلوخ بديهية جداً، فلماذا نستخدم متجهات الحالة؟

بينما متجهات الحالة أقل بداهة، فإنها تتيح لنا التعامل مع كيوبتات متعددة بسهولة. هناك قواعد بسيطة لكيفية دمجها والتلاعب بها وما إلى ذلك. كما أنها تنطبق بدقة على الحاسوب.

أُذكر بسطر من عالم الرياضيات Michael Atiyah، حول المقايضة بين الهندسة والجبر:

«الجبر هو العرض الذي قدمه الشيطان لعالم الرياضيات. يقول الشيطان: سأعطيك هذه الآلة القوية، ستجيب على أي سؤال تحبه. كل ما عليك فعله هو إعطائي روحك: تخلَّ عن الهندسة وستكون لديك هذه الآلة الرائعة.»

— Michael Atiyah، Mathematical Intelligencer 24:1 (2002).

متجهات الحالة هي نفس الصفقة. تخلَّ عن حدسك البصري واحصل على طريقة لتتبع التشابك الكمومي بالأرقام فقط. الآن سنُجري المقايضة بسعادة لكيوبتين وأكثر. لكيوبت واحد، كرة بلوخ تكفي.

لمزيد عن تصورات الكيوبتات المتعددة، اقرأ ورقتنا التقنية عن تصور حالات الكيوبتات المتعددة.

ملاحظة جانبية: درجات الحرية

لماذا تنهار حالة كيوبت فردي، الموصوفة بأربعة أعداد حقيقية، بدقة إلى زاويتين فقط على كرة؟

ابدأ بـ 4 أعداد حقيقية. <alpha/> فيها عددان حقيقيان، و<beta/> فيها اثنان.

ناقص التطبيع، يبقى 3. بما أن |<alpha/>|² + |<beta/>|² = 1، يزيل هذا درجة حرية واحدة.

ناقص الطور العام، يبقى 2. كما يجب أن تعرف بالفعل، ضرب متجه حالة بأي طور عام لا يؤثر على أي شيء. لذلك، نزيل درجة حرية أخرى.

هذا كل شيء. درجتا حرية حقيقيتان، وهما بالضبط θ وφ على الكرة.

كيف تعمل كرة بلوخ النموذجية؟

Qubi نموذج محمول وتفاعلي لكيوبت. عندما يكون الكيوبت غير متشابك مع كيوبتات أخرى، يُريك تمثيل كرة بلوخ الخاص به بضوء أبيض صغير!

إنها طريقة رائعة لبناء حدس قوي للموضوع في هذا الدليل، وأكثر بكثير.

احصل على Qubi الآن

أسئلة كرة بلوخ الشائعة

هل كرة بلوخ كرة فيزيائية حقيقية؟+

لا. كرة بلوخ هي تصور رياضي لحالة كيوبت فردي، لا شيء فيزيائي. كل حالة نقية لكيوبت واحد تقابل نقطة واحدة بالضبط على سطح كرة الوحدة. بعض التقنيات الكمومية (مثل Qubi) تبني نموذجاً ملموساً لها، لكن الكائن الأساسي يعيش في الرياضيات.

ماذا تمثل نقطة على كرة بلوخ؟+

اتجاهاً. السهم من مركز الكرة إلى نقطة على السطح يخبرك بكل شيء قابل للقياس عن حالة كيوبت فردي نقية: احتمال كل نتيجة قياس، في كل أساس. القطب الشمالي هو <ket0/>، والقطب الجنوبي هو <ket1/>، والنقاط حول خط الاستواء هي تراكبات متساوية الوزن بأطوار نسبية مختلفة.

كيف تحسب متجه بلوخ من حالة؟+

اكتب الحالة كـ <formula1/>. ثم متجه بلوخ هو <formula2/>. θ هي الزاوية القطبية من المحور z وφ هي الزاوية المحيطية من المحور x. أو بشكل مكافئ، مكونات متجه بلوخ هي القيم المتوقعة لمشغّلات باولي الثلاث، ⟨X⟩, ⟨Y⟩, ⟨Z⟩.

لماذا تُسمى كرة بلوخ؟+

سُميت على اسم Felix Bloch، الفيزيائي السويسري-الأمريكي الذي قدم التمثيل في عام 1946 في سياق الرنين المغناطيسي النووي. نفس الهندسة استُخدمت بشكل مستقل من قبل Henri Poincaré لاستقطاب الضوء، لذا تُسمى أحياناً كرة Bloch–Poincaré.

هل تعمل كرة بلوخ فقط لكيوبت واحد؟+

نعم، صورة السطح دقيقة فقط لكيوبت فردي. الكيوبتان يعيشان في فضاء حالة سداسي الأبعاد لا يمكن رسمه بهذه الدقة. توجد تعميمات مفيدة (مثل إسقاط كيوبت واحد في كل مرة)، لكن لا توجد صورة لكيوبتين تحافظ على نفس الحدس بالكامل.

هل كرة بلوخ فقط للحالات النقية؟+

السطح يمثل الحالات النقية. الحالات المختلطة، خلطات إحصائية للحالات النقية، تجلس داخل الكرة. الكرة المصمتة كاملة هي كرة بلوخ المصمتة؛ الحالة المختلطة قصوياً تجلس بالضبط في المركز.

تريد اللعب بواحدة؟ افتح مُصوّر كرة بلوخ التفاعلي.

ما هي كرة بلوخ؟