Is the Bloch sphere a real, physical sphere?

No. The Bloch sphere is a mathematical visualization of a single-qubit state, not a physical object. Every pure state of one qubit corresponds to exactly one point on the surface of the unit sphere. Some quantum technologies (like Qubi) build a tangible model of it, but the underlying object lives in math.

What does a point on the Bloch sphere represent?

A direction. The arrow from the center of the sphere to a point on the surface tells you everything measurable about a pure single-qubit state: the probability of every measurement outcome, in every basis. The north pole is |0⟩, the south pole is |1⟩, and points around the equator are equal-weight superpositions with different relative phases.

How do you compute the Bloch vector from a state?

Write the state as |ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩. Then the Bloch vector is (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ). θ is the polar angle from the z-axis and φ is the azimuthal angle from the x-axis. Equivalently, x = ⟨X⟩, y = ⟨Y⟩, z = ⟨Z⟩ — the expectation values of the three Pauli operators.

Why is it called the Bloch sphere?

Named after Felix Bloch, the Swiss-American physicist who introduced the representation in 1946 in the context of nuclear magnetic resonance. The same geometry was independently used by Henri Poincaré for the polarization of light, so it's sometimes called the Bloch–Poincaré sphere.

Does the Bloch sphere only work for one qubit?

Yes — the surface picture is exact only for a single qubit. Two qubits live in a 6-dimensional state space that can't be drawn this cleanly. Useful generalizations exist (e.g., projecting one qubit at a time), but no two-qubit picture preserves all the same intuition.

Is the Bloch sphere only for pure states?

The surface represents pure states. Mixed states — statistical mixtures of pure states — sit inside the sphere. The whole solid ball is the Bloch ball; the maximally mixed state sits exactly at the center.

ブロッホ球 — インタラクティブビジュアライザーと平易な言葉のガイド

最初に認めましょう:量子ビットは理解しにくいです。複雑なことを頭で包むには、役立つ可視化が皆必要です。

ブロッホ表現は量子ビット状態から球上の点への単純なマッピングです。

Single-qubit state

|ψ⟩ = 0.87 |0⟩ + 0.50 e^iφ |1⟩

0.33π

π/4

Try moving the sliders to see how the Bloch sphere changes!

Bloch sphere

インタラクティブなブロッホ球 — θとφスライダをドラッグして、単一量子ビット状態が球上をどう動くか見てください。

ブロッホ球は2つの主要な直感に役立ちます。

直感#1

量子ビットを測定すると、結果を得る確率は矢印がその結果の方向とどれだけ整列しているかに依存します。 例えば、上極の点は<ket0/>を測定する確率が100%。赤道上の点は50/50の確率を与えます。

上極で

<ket0/>を測定する確率100%

赤道上で

<ket0/>または<ket1/>を測定する確率は50-50

(しかし<ketPlus/>を測定する確率は100%)

知る必要はありませんが、正確な規則は<math/>で、αは矢印と結果の方向の間の角度です。これはボルン則として知られています。

直感#2

同じ整列規則は、上下だけでなく任意の測定方向で成り立ちます。 球を通る各軸は2つの極に測定結果のペアを定義します。x軸に沿って測定すると結果は<ketPlus/>と<ketMinus/>。y軸に沿って測定すると<ketPlusI/>と<ketMinusI/>。

ブロッホ表現をどう計算するか?

量子ビットの状態をこう書けることを知っています:

|ψ⟩ = α |0⟩ + β |1⟩

α と β は複素数で、 |α|² + |β|² = 1

その2つの複素振幅から、θとφを計算できます:

書く α = |α| e^i φ_α と β = |β| e^i φ_β

次に

θ = 2 arccos(|α|)·φ = φ_β − φ_α

ブロッホ角から状態ベクトルへ:

|ψ⟩ = cos(θ/2) |0⟩ + e^iφ sin(θ/2) |1⟩

θ ∈ [0, π]は上の|0⟩と下の|1⟩の間で傾けます。φ ∈ [0, 2π)は赤道の周りで回します。

ゲートと測定

ブロッホ球で量子ビットを見ると、量子コンピューティングの数学の多くが直感的になります。

単一量子ビットゲートは単に回転。 すべての単一量子ビットゲートは、ある軸まわりのある角度の球の剛体3D回転です。下のゲートを選んで、状態ベクトルが新しい方向に弧を描くのを見てください。

Click a gate to watch the state vector rotate.

量子ゲートボタン付きインタラクティブなブロッホ球 — H、X、またはYをクリックしてゲートを適用し、状態ベクトルが回転するのを見る。

測定は球を崩壊させ、測定する対極点のどちらかになります。zに沿って測定すると、状態は<ket0/>または<ket1/>にスナップ。xに沿って、<ketPlus/>または<ketMinus/>にスナップ。各結果の確率は、現在の状態の矢印がその極にどれだけ傾いているかで設定されます。

Pick an axis. The state collapses to one of the two opposite poles along it, with probability set by where the vector currently points.

ブロッホ球測定デモ — 状態を投影する軸を選んで、2つの反対の極のどちらかに崩壊するのを見る。

実生活にブロッホ球はあるか?

はい。ある種の量子ビットには、ブロッホ球はメタファーではありません。

最も明確な例は電子スピン量子ビットです。電子は小さな磁石です:3D空間のある方向を指す磁気モーメントを持ちます。その方向がブロッホベクトルです。ブロッホ球の北極 = 研究室で上を指すスピン。南極 = 下を指すスピン。球上の他の場所 = 他の場所を指すスピン。

電子のスピン方向はブロッホベクトルに1対1にマッピングされます。

厳密に言う人なら、電子のスピンを方向を指すと考えるのは便利だが、選ぶ任意の軸に沿って「上」または「下」としてしかスピンを測定できないと指摘するでしょう。だから厳密に言えば、測定するまでスピンは何処も「指して」いません。

物理学者がそのような電子の状態を書き下すとき、よく前後に切り替えます:研究室の方向を(θ, φ)に変換し、式から状態ベクトルを取り出し、いくつかの代数を行い、戻します。

相対位相とは?

相対位相は、状態ベクトルをこう書くとき、αとβの位相の差に与えられる名前です:

|ψ⟩ = |α| e^i φ_α |0⟩ + |β| e^i φ_β |1⟩

相対位相は φ = φ_β − φ_α.

状態ベクトル形式がそもそもどう発明されたかを見るまで、相対位相が実際に何をするかを感じるのは難しいです。

通常量子状態を書く方法 — <ketPsi/> = α<ket0/> + β<ket1/> — は、20世紀の最も賢い心の1人とよく呼ばれるジョン・フォン・ノイマンによって発明されました。しかしフォン・ノイマン自身も、それが量子力学を記述する正しい方法か疑うようになりました。1935年に数学者ガレット・バーコフに書いた:

ロスアラモスでのジョン・フォン・ノイマン — — ジョン・フォン・ノイマン、ガレット・バーコフへの手紙、1935年。

ブロッホ球はより直感的です:量子ビットが実際にどう動くかに直接マッピングされます。だから状態ベクトル上の相対位相は、ブロッホ球情報の残りを運ぶ形式の方法と考えるのが最善です。

αとβを実数としてのみ保存すると、<ket0/>/<ket1/>基底の確率しか教えてくれません。しかし任意の基底(<ketPlus/>/<ketMinus/>や<ketPlusI/>/<ketMinusI/>を含む)で測定でき、それらの結果を予測するにはφも知る必要があります。

状態ベクトルの相対位相は、ブロッホ球からの3D情報の残りを保存する方法に過ぎません。 状態ベクトルに、1つ以上の量子ビットに簡単に拡張できる方法で埋め込まれており、次のパートでそれに到達します。

ブロッホ球がそれほど直感的なら、なぜ状態ベクトルを使うか?

状態ベクトルは直感的ではありませんが、複数の量子ビットを簡単に扱えます。組み合わせる方法、操作する方法などの単純な規則があります。コンピュータにも非常にきれいに収まります。

数学者マイケル・アティヤの幾何と代数の取引についての一言を思い出します:

「代数は悪魔が数学者に申し出るものだ。悪魔は言う:この強力なマシンをあげよう、好きな質問に何でも答える。あなたがする必要があるのはあなたの魂を私にくれることだけだ:幾何をあきらめれば、この素晴らしいマシンが手に入る。」

— マイケル・アティヤ、Mathematical Intelligencer 24:1(2002年)。

状態ベクトルは同じ取引です。視覚的直感をあきらめて、量子もつれを数だけで追跡する方法を得ます。今のところ、2量子ビット以上の場合は喜んで取引を行います。1量子ビットの場合、ブロッホ球で十分です。

多量子ビット可視化の詳細については、多量子ビット状態の可視化に関するホワイトペーパーを読む。

余談:自由度

4つの実数で記述される単一量子ビット状態が、なぜ球上の2つの角度にこんなにきれいに崩壊するのでしょうか?

4つの実数から始める。 <alpha/>に2つの実数があり、<beta/>に2つあります。

正規化を引くと3つ残る。 |<alpha/>|² + |<beta/>|² = 1なので、1つの自由度が削除されます。

大域位相を引くと2つ残る。 すでに知っているはずですが、状態ベクトルに任意の大域位相を掛けても何も影響しません。したがって、もう1つ自由度を削除します。

それだけです。2つの実自由度、それらは球上のθとφに正確に対応します。

ブロッホ球モデルはどう動くか?

Qubiはハンドヘルドでインタラクティブな量子ビットモデルです。量子ビットが他の量子ビットともつれていないとき、小さな白い光でブロッホ球表現を示します!

このガイドのトピックなどに対する強い直感を構築する素晴らしい方法です。

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ブロッホ球FAQ

ブロッホ球は本物の物理的な球ですか?+

いいえ。ブロッホ球は単一量子ビット状態の数学的可視化で、物理的物体ではありません。1量子ビットのすべての純粋状態は単位球の表面の正確に1点に対応します。一部の量子技術(Qubiなど)はそれの触れる模型を作りますが、根本的な対象は数学に存在します。

ブロッホ球上の点は何を表しますか?+

方向。球の中心から表面上の点への矢印は、純粋単一量子ビット状態について測定可能なすべてを教えてくれます:すべての基底のすべての測定結果の確率。北極は<ket0/>、南極は<ket1/>、赤道周りの点は異なる相対位相を持つ等重み重ね合わせです。

状態からブロッホベクトルをどう計算しますか?+

状態を<formula1/>と書きます。次にブロッホベクトルは<formula2/>。θはz軸からの極角、φはx軸からの方位角です。同等に、ブロッホベクトルの成分は3つのパウリ演算子の期待値、⟨X⟩、⟨Y⟩、⟨Z⟩です。

なぜブロッホ球と呼ばれるのですか?+

1946年に核磁気共鳴の文脈でこの表現を導入したスイス系アメリカ人物理学者フェリックス・ブロッホにちなんで命名されました。同じ幾何学はアンリ・ポアンカレが光の偏光に独立に使っていたので、ブロッホ-ポアンカレ球と呼ばれることもあります。

ブロッホ球は1量子ビットだけに動きますか?+

はい — 表面の絵は単一量子ビットの場合にのみ正確です。2量子ビットはこれほどきれいに描けない6次元状態空間に存在します。有用な一般化はあります(例:1度に1量子ビットを射影)が、2量子ビットの絵で同じ直感をすべて保存するものはありません。

ブロッホ球は純粋状態だけですか?+

表面は純粋状態を表します。混合状態(純粋状態の統計的混合)は球の内部にあります。全体の固体ボールがブロッホボールです。最大混合状態は中心に正確に座ります。

1つで遊びたいですか?インタラクティブなブロッホ球ビジュアライザを開いてください。

ブロッホ球とは?