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Mathematik des Quantencomputings

Das mathematische Modell, mit dem wir Qubits beschreiben – von John von Neumann aufgeschrieben, gegen die Realität getestet und seitdem als Standard.

Sohum Thakkar
Sohum Thakkar · CEO, Qolour
May 17, 2026

In dieser Anleitung lernen Sie das mathematische Modell kennen, mit dem wir Qubits darstellen. Das Modell wurde von John von Neumann aufgeschrieben und ist seitdem Standard.

P.S. Viele verwechseln das Modell mit den Qubits. Sie denken, ein Qubit sei das Modell. Das ist nicht so. Das Modell ist nur eine Beschreibung. Die Qubits sind reale, physische Objekte.

Das einzelne Qubit

Es gibt zwei gängige Arten, den Zustand eines Qubits aufzuschreiben: eine ist intuitiv, die andere ist nützlich. Diese Anleitung behandelt die nützliche, die Statevektor-Notation.

Die Statevektor-Notation ist hilfreich, weil sie darauf gründet, was unsere Messergebnisse sein könnten. Wir bauen den Statevektor in zwei Schritten auf.

Schritt 1: die Messergebnisse wählen

Der erste Schritt ist zu wählen, was die Ergebnisse unserer Quantenmessung sein könnten. Beim Elektronenspin etwa wäre das „Spin auf“ und „Spin ab“. Ein Qubit hat genau zwei mögliche Messergebnisse.

Wir geben diesen beiden Ergebnissen Namen. Konventionell schreiben wir sie in Ket-Notation:

  • |0⟩

    Lesen Sie es „Ket Null“. Unsere Konvention für das erste Ergebnis – z. B. auf bei Stern-Gerlach.

  • |1⟩

    Lesen Sie es „Ket Eins“. Das andere Ergebnis – z. B. ab bei Stern-Gerlach.

State: |+⟩

Schritt 2: den Zustand als Vektor schreiben

Ein Statevektor ist ein Vektor, dessen Einträge angeben, wie viel Gewicht (oder Amplitude) jedes Ergebnis hat.

Wir stellen uns die beiden Ergebnisse als zwei senkrechte Achsen (|0⟩ und |1⟩) und den Statevektor |ψ⟩ als Pfeil in dieser Ebene vor. Seine Projektion auf die |0⟩-Achse hat Länge α, seine Projektion auf die |1⟩-Achse hat Länge β.

|0⟩|1⟩|ψ⟩αβθ
Der Zustand des Qubits, gezeichnet als Vektor mit einer Komponente auf jeder Messergebnis-Achse.

In Ket-Form schrieben wir dasselbe als |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩. Als Spaltenvektor steht oben α und unten β.

|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩  ⇔  [α, β]

Amplituden sind keine Wahrscheinlichkeiten

Amplitude ist ein Begriff, mit dem Sie vertraut werden. Die Amplitude ist keine Wahrscheinlichkeit. Sie wird zur Wahrscheinlichkeit, wenn wir sie quadrieren. Das ist die Born-Regel: die Wahrscheinlichkeit, das Ergebnis |0⟩ zu messen, ist |α|², und die Wahrscheinlichkeit für |1⟩ ist |β|².

P(measure |0⟩) = |α|2

P(measure |1⟩) = |β|2

Beispiel-Statevektoren

  • Gesamtes Gewicht auf |0⟩

    [1, 0]

    Wahrscheinlichkeit, |0⟩ zu messen = 1² = 100 %.

  • Gesamtes Gewicht auf |1⟩

    [0, 1]

    Wahrscheinlichkeit, |1⟩ zu messen = 1² = 100 %.

  • Gleichmäßige Superposition

    [1/√2, 1/√2]

    (1/√2)² = 1/2 Wahrscheinlichkeit pro Ergebnis. 50/50.

  • Eine komplexe Superposition

    [1/√2, i/√2]

    Immer noch 50/50 – der quadrierte Betrag ist |i/√2|² = 1/2 – doch der imaginäre Teil des zweiten Eintrags bewirkt unterschiedliches Verhalten bei Operationen.

  • Eine unausgewogene Superposition

    [√0.3, √0.7]

    (√0,3)² = 30 % für |0⟩, (√0,7)² = 70 % für |1⟩.

Beachten Sie etwas Wichtiges: In jedem obigen Beispiel summieren sich die quadrierten Amplituden zu 1. Das ist die <b>Normierungsbedingung</b>: <code>|α|² + |β|² = 1</code>. Jeder Statevektor muss diese Eigenschaft erfüllen, denn die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse müssen zu 100 % addieren.

|α|2 + |β|2 = 1

Und Amplituden können komplexe Zahlen sein. Die Born-Regel mit komplexen Amplituden nutzt den quadrierten Betrag, |α|² = α·α*, wobei α* die komplexe Konjugierte ist.

Quiz folgt bald – prüfen Sie Ihr Verständnis der Born-Regel mit einigen Übungs-Statevektoren.

Die globale Phase spielt keine Rolle

coursePages.qubitMath.globalPhaseP1

Dieser gemeinsame Faktor heißt globale Phase. Zwei Statevektoren, die sich nur durch eine globale Phase unterscheiden, sind physikalisch ununterscheidbar.

Mehrere Qubits

coursePages.qubitMath.multipleQubitsP1

Der Vektor, der einen bestimmten Zustand darstellt, hat also 2ⁿ Einträge für n Qubits. Daher wachsen Quantenzustände exponentiell mit der Anzahl der Qubits – ein Grund, warum Quantencomputer leistungsfähig sind.

statevector dimension = 2n

Für zwei Qubits sind die vier Ergebnisse |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩, der Statevektor hat vier Einträge.

coursePages.qubitMath.multipleQubitsPS

Operationen

Jede Operation, die an einem Quantensystem durchgeführt wird, muss einen Statevektor entgegennehmen und einen Statevektor zurückgeben. Solche Operationen sind streng eingeschränkt: Sie müssen die Gesamtwahrscheinlichkeit bei 1 halten.

Ist die Operation linear, lässt sie sich als Matrix darstellen. Die Bedingung lautet, dass die Matrix unitär ist: ihre konjugiert-transponierte ist gleich ihrer Inversen. Diese unitären Matrizen heißen Quantengatter.

Eine Operation auf einen Statevektor anzuwenden, ist Matrixmultiplikation: Nehmen Sie die unitäre Matrix U und multiplizieren Sie sie mit dem Statevektor |ψ⟩, um den neuen Statevektor U|ψ⟩ zu erhalten.

|ψ’⟩ = U|ψ⟩

P.S. Eine häufige Verwirrung: Was, wenn wir eine nicht-unitäre Operation am Qubit durchführen? Das passiert nicht. Die Mathematik der Quantenmechanik verlangt, dass jede Operation unitär ist. Messung ist die einzige Ausnahme, und sie ist auch keine Operation im üblichen Sinn – sie ist eine eigene Sache.

Messungen

coursePages.qubitMath.measurementsP1

Eine Messung durchzuführen erfordert drei Schritte:

  1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit jedes möglichen Ergebnisses mit der Born-Regel (|Amplitude|²).
  2. Ziehen Sie ein Ergebnis zufällig nach diesen Wahrscheinlichkeiten.
  3. Ersetzen Sie den Statevektor durch den Einheitsvektor, der dem gezogenen Ergebnis entspricht.

Beispiel: Messen wir den Zustand |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + (1/√2)|1⟩, erhalten wir mit 50 % Wahrscheinlichkeit |0⟩ und mit 50 % |1⟩. Nach der Messung ist der Statevektor |0⟩ oder |1⟩, je nach Ergebnis.

Wie es weitergeht

Drei gute nächste Schritte: