設定
アリスとボブは色を合わせるのが大好きな兄弟姉妹です。毎朝、それぞれ赤または青を着ます。
ただし:彼らはかなり気分屋です。それぞれ幸せ 😊または不機嫌 😠で目覚める可能性が50%です。
ゲームは単純:目覚めたとき、各兄弟姉妹は相手と通信せずに何を着るか考える必要があります。目的は以下:
両方幸せ 😊 😊:色を合わせたい。
両方不機嫌 😠 😠:絶対に合わせたくない。
1人幸せ、1人不機嫌 😊 😠:幸せな方がもう片方を元気づけるため、合わせたい。
要約すると:
4つの気分の組み合わせはそれぞれ等しく可能性があります(各25%)。各兄弟姉妹は自分の気分しか知らず、相手のは知りません。
前夜、アリスとボブは一緒に戦略を立てられますが、目覚めると一切通信できません。どちらが幸せか不機嫌かを予測する方法はありません。
だから問いは:
- 兄弟姉妹が不機嫌で目覚めたら、何を着るべきか?
- 兄弟姉妹が幸せで目覚めたら、何を着るべきか?
ほぼ勝つ方法
とても単純な戦略ですでにアリスとボブが75%の確率で勝てることがわかります:
常に青を着る。
考えてみてください。4つの気分の組み合わせのうち3つが彼らに合わせてほしいと望み、両方が常に青を着れば、常に合います。「両方不機嫌」のケース(合わせないことを望む)だけが負けます。4つのうち3つ。75%。
勝率 · 「常に青を着る」
合わせるべき
100%
合わせるべき
100%
合わせるべき
100%
合わせないべき
0%
4つのうち3つの組み合わせは毎回勝ちます。1つの組み合わせ(両方不機嫌)は毎回負けます。平均勝率:75%。
もっとうまくできるか?
量子なしではできません。75%は任意の古典戦略が達成できる最良です。 合意された任意の計画、任意の個人情報、事前に共有した任意のランダム性、どれもそれを75%以上には引き上げられません。
それが上限です。不可能であることが証明されています。
勝つ方法
アリスとボブがもつれ量子ビットのペアを共有していたら?約85%の確率で勝てることがわかります。
それは衝撃的です。もつれを介して情報を送れないことを知っています。それでも、もつれ量子ビットは古典限界を10パーセントポイント上回ります。アリスとボブの間で本物の何かが共有されており、それは事前共有の古典戦略に還元できません。
そのギャップ、75%と85%の間が、ジョン・クラウザー、アラン・アスペ、アントン・ツァイリンガーがキャリアを通じて測定したものです。彼らは実際のもつれ量子ビットが本当に古典の境界を上回ることを示しました。それが彼らに2022年ノーベル物理学賞を勝ち取らせたものです。
どう動くか見てみましょう。
アリスとボブがそれぞれもつれ量子ビットを持っているとしましょう。量子もつれは単純です:アリスかボブが自分の量子ビットを特定の方向を指していると測定すると、もう一方の量子ビットは反対方向に崩壊します。これが彼らが持っているすべてです。
この動作をどう使ってゲームに勝てるでしょうか?
下の可視化で、球上の異なる点に色のラベルを付けました。アリスかボブが自分の量子ビットを測定して赤い色を指していたら赤を着、青なら青を着ます。アリスとボブは不機嫌か幸せかに応じて異なる軸で測定します。ボブの軸はアリスのものから45°回転していることに注意してください。
下のように軸を定義してこの手順に従えば、誰が幸せか不機嫌かに関係なく、実際に85%の確率で勝ちます。
How to play
Alice and Bob each hold one half of an entangled pair.
You get to choose Alice and Bob's moods, and see if they get it right! Go ahead and measure Bob and Alice's qubit in the appropriate directions by pressing the buttons. Then, repeat that experiment many more times by pressing the button that appears! The results are tracked below in the grid. Try all four combinations of moods, and see what accuracies you get!
No measurements yet.
No measurements yet.
アリスとボブはそれぞれどちらかの測定を選べます。ボブの軸はアリスのものから45°回転し、彼の色は反転しています。
なぜこれが動くか
これは量子もつれと、私たちが測定軸を選んだ方法のおかげで動きます。
ここに要約があり、下でそれを掘り下げます:
- 量子ビットを「シングレット状態」(完全に反相関)から始めます。注目すべきは、1人が自分の量子ビットを測定すると、2つ目の量子ビットが正確に反対の場所に崩壊することです。
- 2つ目の量子ビットが崩壊した後、赤/青のラベルを球の周りに配置して、正しい色が常に崩壊状態から45°しか離れていないようにしました。これにより、85%の確率で正しい色を得られます!
単一量子ビット崩壊確率の図を思い出してください:
今、最初に測定すると仮定するアリスのすべての選択肢を見ることができます。(ボブが最初に測定しても同じです。)アリスの気分と結果(左)の各選択肢に対して、ボブが不機嫌または幸せの場合に各色を得る確率を示します。正しい色は常に彼にとってわずか45°しか離れていないことに注意。
数学への対応付け
数学は短く、付いていくのに多くの背景は必要ありません。3つのアイデア:
1. 書き下したシングレット
物理学者はアリスとボブが共有する特別なペア、シングレットをこう書きます:
こう読みます。<tex01/>は「アリスの量子ビットが0でボブのが1」を意味します。<tex10/>は反対を意味します。シングレットはその2つの50/50混合ですが、特別な混合です。
定義的性質:両方の量子ビットを同じ軸に沿って測定すると、常に反対の結果を得ます。それが私たちが使ってきた「完全に反相関」の規則です。知る価値があるのは、これが特定の1つの方向だけでなく、彼らが選ぶ任意の軸で動くということです。
2. 確率の計算
量子力学は同時結果のための1つの規則を与えます。アリスの軸が単位ベクトル<texA/>に沿っているとし(彼女の<texPlus1/>結果は量子ビット状態<texKetA/>)、ボブの軸が<texB/>に沿っているとします。シングレットから始めて、アリスが彼女の量子ビットを<texKetA2/>に測定し、かつボブが彼の量子ビットを<texKetB/>に測定する確率は、その同時結果状態とシングレットの内積の二乗です:
これは同時状態に適用されたボルン則です。シングレットを代入し、代数を展開すると、すべてはきれいな閉形式に崩壊します:
ここで<texTheta/>はアリスとボブの測定軸の間の角度。2つのクイック健全性チェック:同じ軸(<texZero/>)はゼロを与え、反相関規則を確認します(両方が決して<texPlus1/>を得られない)。反対軸(<tex180/>)は1/2を与え、反対方向を測定するときに常に同意することを示します。
3. 45°でテスト
私たちの設定では、アリスの軸は垂直と水平、ボブのものはそれらから45°回転しています。だから4つの気分の組み合わせのうち3つは<texTheta/>を持ちます。代入:
それはアリスとボブの両方が<texPlus1/>結果を得る確率です。ボブの色はアリスのものに対して反転しているので、同じ測定値は異なる色を意味し、不一致です。一致するケースは、アリスとボブが反対の測定値を得る場合で、それらの2つの同時確率の合計は:
それが上の図のすべての行の85%です。4つ目のケース「両方不機嫌」は対称性により同じように動きます。ゲームがそこで勝利条件を反転するためです。