Das CNOT-Gatter (controlled-NOT) ist das einzelne wichtigste Gatter im Quantencomputing.
Das CNOT ist das Quanten-Äquivalent eines If-Statements. Es sagt:
Zuerst: Was heißt es, ein Qubit zu flippen?
Es gibt viele Wege, ein Qubit zu flippen. Hier drei davon. Jeder startet bei |0⟩ (Nordpol) und endet bei |1⟩ (Südpol), nimmt aber einen anderen Pfad:
Alle drei flippen ein |0⟩ zu einem |1⟩ und umgekehrt. Wir müssen eines wählen!
Der Flip im CNOT ist konkret das X-Gatter, eine 180°-Drehung um die x-Achse.
CNOT sagt also wirklich:
Schauen wir, wie das aussieht.
Wie sieht ein kontrollierter Flip aus?
Wenn das erste Qubit |1⟩ ist
Das erste Qubit ist |1⟩ (unten), also wendet CNOT ein X-Gatter auf das zweite an.
Das zweite Qubit ist von |0⟩ zu |1⟩ geflippt – genau wie bei einem X. Der Zustand wird |11⟩. Das erste ist unverändert. Es ist der Boss; CNOT berührt nur das zweite.
Wenn das erste Qubit |0⟩ ist
Was, wenn das erste Qubit |0⟩ ist? Was denken Sie, passiert?
Sagen Sie es voraus und prüfen Sie es selbst:
Nichts ändert sich. Das erste Qubit war |0⟩, also wurde das If-Statement nicht ausgelöst. Der Zustand bleibt |00⟩.
In Superposition
Hier ist der interessante Fall. Was, wenn wir das erste Qubit auf etwas dazwischen |0⟩ und |1⟩ setzen – eine 50-50-Superposition? (Wir kommen dorthin, indem wir zuerst ein Hadamard anwenden.) Das heißt, wir starten vom Zustand:
Jetzt haben wir zwei Möglichkeiten (oder Welten) für das erste Qubit. In der Visualisierung unten färben wir sie rot und blau. Beachten Sie, dass am Anfang in beiden – roter und blauer Welt – das zweite Qubit in der „oben“-Position ist. Die Welten überlappen sich auf diesem Qubit, also bekommen wir nur Weiß.
Beim Anwenden des CNOTs trennen sich die rote Welt und die blaue Welt aber. In der roten Welt ist das erste Qubit in der 0-Position; in der blauen Welt in der 1-Position – nur die blaue Welt flippt.
Stellen Sie sich die beiden Welten parallel laufend vor:
- Rote Welt: das erste Qubit war die ganze Zeit
|0⟩. CNOT tut nichts. Wir enden bei|00⟩. - Blaue Welt: das erste Qubit war die ganze Zeit
|1⟩. CNOT flippt das zweite Qubit. Wir enden bei|11⟩.
Die Quantenmechanik wählt keine. Sie behält beide, gewichtet mit der ursprünglichen 50-50-Aufteilung. Das Ergebnis ist (|00⟩ + |11⟩)/√2, ein Bell-Zustand: ein sehr berühmtes verschränktes Paar.
Was passiert, wenn Sie jetzt messen?
Die beiden Qubits sind nun korreliert. Messen wir das erste Qubit und stellen fest, dass es unten ist, wissen wir, dass wir in der blauen Welt sind. Daher muss das andere Qubit ebenfalls unten sein!
Wenn wir ein Quantensystem messen, verursacht das einen Kollaps, das heißt es löscht alle anderen Welten.
Verschränkung ist eine Abhängigkeit zwischen Messergebnissen. Offensichtlich sind die Ergebnisse voneinander abhängig, sie sind also vor der Messung definitiv verschränkt! Nach der Messung gibt es jedoch keine Abhängigkeit mehr.
Eine weitere Visualisierung
Nebenbei: Die frühere Visualisierung zeigte die beiden Welten, die aus einer Messung in der Z-Basis resultieren (deshalb saßen die Welten auf der z-Achse).
Aber Sie müssen nicht auf der Z-Achse messen. Sie können in jede Richtung messen. Es gibt viele weitere mögliche Welten, in denen wir landen können – rund um die Kugel.
Diese nächste Visualisierung gibt jedem potenziellen zukünftigen Zustand eine einzigartige Farbe, für die Messung in jeder Richtung. Erneut: korrelierte Welten auf den beiden Qubits sind gleich gefärbt.
Beachten Sie, dass diese Visualisierung etwas ist, mit dem man sich eine Weile auseinandersetzen muss, um sie ganz zu erfassen. Wir haben eine Anleitung zur Verschränkung, die hilft.
Wahrheitstabelle
Auf den vier klassischen Eingaben:
| Eingabe | Kontrolle | Ziel davor | Ziel danach | Ausgabe |
|---|---|---|---|---|
| |00⟩ | 0 | 0 | 0 | |00⟩ |
| |01⟩ | 0 | 1 | 1 | |01⟩ |
| |10⟩ | 1 | 0 | 1 (geflippt) | |11⟩ |
| |11⟩ | 1 | 1 | 0 (geflippt) | |10⟩ |
Das erste Qubit wird nie geändert. Das zweite wird genau dann geflippt, wenn das erste 1 ist. CNOT ist sein eigenes Inverses: zweimal anwenden, und Sie sind wieder am ursprünglichen Zustand.
Die Matrix
In der Computerbasis (Reihenfolge |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩) lautet CNOT:
Der obere linke 2×2-Block ist die Identität (erstes Qubit = 0 lässt das zweite in Ruhe), und der untere rechte 2×2-Block ist das Pauli-X-Gatter (erstes Qubit = 1 flippt das zweite).
Wie CNOTs in der echten Welt durchgeführt werden
CNOTs werden auf echten Qubits auf vielerlei Arten durchgeführt.
In Elektronen-Spin-Qubits (wie gefangenen Ionen) werden zwei verschiedene Laser auf die beiden zu verschränkenden Elektronen geschossen. Zeigt das erste Elektron nach oben, absorbiert es seinen Laser, was eine Mikro-Schwingung in der ganzen Falle erzeugt. Der zweite Laser übersetzt diese Schwingung in einen Flip für das zweite Qubit. So entsteht Verschränkung zwischen den Elektronen-Spins.
Warum CNOT wichtig ist
Einzel-Qubit-Gatter können allein zwei Qubits nicht verschränken. Sie können jedes Qubit unabhängig den ganzen Tag drehen, und sie bleiben unabhängig. Um etwas wirklich Multi-Qubit-mäßiges zu tun, brauchen Sie mindestens ein Zwei-Qubit-Gatter, und CNOT ist das Standard-Gatter.
Zusammen mit zwei bestimmten Einzel-Qubit-Gattern (Hadamard und dem T-Gatter) bildet CNOT einen universellen Gattersatz. Jede Quantenoperation auf beliebig vielen Qubits kann aus diesen dreien mit beliebiger Präzision gebaut werden. Die meisten Quanten-Hardware-Hersteller implementieren genau diesen Gattersatz als ihre nativen Operationen.
Verwandte Konzepte
- Hadamard-Gatter: das Gatter, das man typischerweise vor CNOT auf das erste Qubit anwendet.
- Pauli-X (NOT): das Gatter, das CNOT auf das zweite Qubit anwendet, wenn das erste 1 ist.
- Was ist ein Quantengatter? Das Dach-Konzept.
- Die Bloch-Kugel: was jede der beiden Kugeln darstellt.
Häufig gestellte Fragen
Was tut das CNOT-Gatter?
CNOT ist ein Zwei-Qubit-Gatter. Es flippt das zweite Qubit nur, wenn das erste im Zustand |1⟩ ist. Ist das erste |0⟩, bleibt das zweite in Ruhe.
Warum erzeugt CNOT Verschränkung?
Wenden Sie ein Hadamard auf das erste Qubit an, um es in Superposition zu versetzen, und dann CNOT. Nun sind die beiden Qubits korreliert. Eines zu messen sagt Ihnen sofort das Ergebnis des anderen. Ausgehend von |00⟩ ergibt diese exakte Sequenz (H dann CNOT) einen Bell-Zustand, das einfachste verschränkte Paar.
Wie lautet die CNOT-Wahrheitstabelle?
Auf den vier klassischen Eingaben:
| Eingabe | Ausgabe |
|---|---|
| |00⟩ | |00⟩ |
| |01⟩ | |01⟩ |
| |10⟩ | |11⟩ |
| |11⟩ | |10⟩ |
Ist CNOT umkehrbar?
Ja. Wie jedes Quantengatter ist CNOT unitär und daher umkehrbar. Tatsächlich ist es sein eigenes Inverses: CNOT zweimal anwenden bringt Sie zum Ausgangspunkt zurück.
Warum ist CNOT so wichtig?
Einzel-Qubit-Gatter können keine Verschränkung erzeugen. Um etwas wirklich Quantenhaftes über mehrere Qubits zu tun, brauchen Sie mindestens ein Zwei-Qubit-Gatter, und CNOT ist die Standardwahl. Zusammen mit H und T bildet CNOT einen universellen Gattersatz, das heißt jede Quantenoperation lässt sich aus diesen dreien bauen.
Wie lautet die CNOT-Matrix?
Eine 4×4-Matrix in der Computerbasis. In Blockform: 2×2-Identität auf dem Teilraum (erstes Qubit = 0) und Pauli-X auf dem Teilraum (erstes Qubit = 1): genau „flippe das zweite Qubit nur, wenn das erste 1 ist“.
Qubi holen
Halten Sie verschränkte Qubits.
Wir haben ein Paar Qubits gebaut, das Sie in den Händen halten können. Sie helfen, die Konzepte zu vermitteln, und verbinden sich sogar mit echten Quantencomputern!