رياضيات الحوسبة الكمومية

هناك طريقتان شائعتان لكتابة حالة الكيوبت: إحداهما بديهية، والأخرى مفيدة للغاية. البديهية هي كتابة متجه بلوخ الخاص به، وهو متجه في فضاء ثلاثي الأبعاد، ويمكنك تعلم كل شيء عنه في دليل ما هو الكيوبت؟. هذا سهل التصور، لكنه يصطدم بقيود جدية عند محاولة تمثيل الكيوبتات أثناء تشابكها. لذا لأي عمل جاد، نستخدم ما يُعرف بـ ترميز متجه الحالة.

ترميز متجه الحالة جميل لأنه يرتكز على ما قد تكون نتائج قياسنا إذا قِسنا كيوبتنا.

الخطوة الأولى هي اختيار ما يمكن أن تكون عليه نتائج قياسنا الكمومي. على سبيل المثال، في تجربة Stern-Gerlach الشهيرة، كان Stern وGerlach يقيسان ما إذا كان السبين الإلكتروني لأعلى أم لأسفل. كانت نتائج قياسهما أعلى أو أسفل.

نعطي هاتين النتيجتين أسماء. اصطلاحاً، نكتبها في ترميز ket:

متجه الحالة هو فقط متجه تتوافق مدخلاته مع كمية الوزن (أو السعة) على كل نتيجة قياس. المدخلة الأولى تتوافق مع السعة لـ |0⟩، والمدخلة الثانية مع السعة لـ |1⟩.

نتصور النتيجتين كمحورين متعامدين (|0⟩ و|1⟩) والحالة |ψ⟩ كمتجه في ذلك المستوى.

في صيغة ket سنكتب نفس الشيء كـ |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩. كمتجه عمودي هو فقط [α, β].

السعة مفهوم ستألفه. السعة ليست احتمالاً، إنها «الجذر التربيعي» للاحتمال. على سبيل المثال، إذا كان لحالة سعة 1/√2 لـ |0⟩، فإن احتمال قياس |0⟩ هو (1/√2)² = 1/2 = 50%. تُسمى هذه قاعدة بورن.

لاحظ شيئاً مهماً: في كل مثال أعلاه، تضاف السعات المربعة إلى 1. هذه ليست صدفة، إنها قاعدة صارمة. يجب أن تضاف احتمالات كل النتائج الممكنة إلى 100%، إذن:

والسعات يمكن أن تكون أعداداً مركّبة. تستخدم قاعدة بورن مع السعات المركّبة المقدار المربع |α|² = α·α* بدلاً من α² فقط.

كتابة متجهات الحالة هكذا تأتي مع زيادة صغيرة. إذا ضربت كل سعة بنفس العدد المركب ذي المقدار 1 («عامل طور» مثل -1، i، أو e^(iπ/3))، فأنت تصف نفس الحالة الفيزيائية. تعتمد قاعدة بورن على |السعة|²، لذا ضرب كل سعة بعامل ذي مقدار وحدوي لا يغيّر أي احتمال قياس.

يُسمى هذا العامل المشترك الطور العام. متجها حالة يختلفان فقط بطور عام لا يمكن تمييزهما فيزيائياً، يتنبآن بنفس النتائج تماماً لكل قياس ممكن.

الآن سنتعلم كيفية تمثيل حالة كيوبتات متعددة. كل ما نفعله هو إنشاء بُعد جديد لكل تركيبة ممكنة من نتائج القياس.

إذن المتجه الذي يمثل حالة معينة له 2ⁿ مدخلة لـ n كيوبت. يُسمى هذا المتجه أيضاً متجه الحالة. كحالة الكيوبت الواحد، يمكن أن تكون مدخلاته مركّبة، ويجب أن تضاف مقاديرها المربعة إلى 1.

لكيوبتين، النتائج الأربع هي |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩، إذن لمتجه الحالة 4 مدخلات. لثلاثة كيوبتات: 8 مدخلات. لعشرة كيوبتات: 1024 مدخلة. ينمو البُعد أُسّياً مع عدد الكيوبتات، وهذا بالضبط ما يجعل محاكاة الأنظمة الكمومية الكبيرة على حاسوب تقليدي صعبة جداً.

كل عملية تُجرى على نظام كمومي يجب أن تأخذ متجه حالة وتُخرج متجه حالة. ويجب أن يفي متجه الحالة الجديد بكل قواعد متجه الحالة، بما في ذلك أن يعيش على الكرة الوحدة.

إذا كانت العملية خطية، فيمكن تمثيلها كمصفوفة. القيد هو أن المدخل والمخرج يجب أن يكون لكليهما معيار 1. تُسمى المصفوفات التي تحافظ على الكرة الوحدة وحدوية.

تطبيق عملية على متجه حالة هو ضرب مصفوفي: خذ المصفوفة الوحدوية U، اضربها بمتجه الحالة |ψ⟩، والنتيجة U|ψ⟩ هي متجه الحالة الجديد.

آخر نوع من العمليات نُجريها على حاسوب كمومي هو قياس، كيف نستخرج المعلومات من نظام كمومي.

لإجراء قياس، ثلاث خطوات:

1. احسب احتمال كل نتيجة ممكنة باستخدام قاعدة بورن (|السعة|²).
2. اخذ عينة من نتيجة واحدة عشوائياً باستخدام تلك الاحتمالات.
3. استبدل متجه الحالة بمتجه الوحدة المقابل لأي نتيجة أُخذت عينتها.

على سبيل المثال، قياس الحالة |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + (1/√2)|1⟩: نحصل على |0⟩ باحتمال 50% و|1⟩ بـ 50%. إذا أخذنا عينة |0⟩، فإن متجه الحالة بعد القياس هو فقط |0⟩ = [1, 0]. اختفى التراكب، هذا ما يقصده الناس عندما يقولون إن قياساً «يُسقِط» الحالة.

ثلاث خطوات تالية جيدة:

• ما هي كرة بلوخ؟ تأخذ الصورة الهندسية ثلاثية الأبعاد بجدية للكيوبتات الفردية.
• بوابة هادامارد هي إحدى أهم العمليات الوحدوية، تحوّل |0⟩ إلى (1/√2)|0⟩ + (1/√2)|1⟩، التراكب المتساوي.
• ما هو التشابك الكمومي؟ يُظهر ما يحدث لمتجه حالة الكيوبتات المتعددة عندما يصبح كيوبتان مترابطين.