La situación
Alice y Bob son hermanos a los que les encanta combinar colores. Cada mañana, cada uno se pone rojo o azul.
Salvo que: están bastante de mal humor. Cada uno tiene un 50% de probabilidad de despertarse feliz 😊 o de mal humor 😠.
El juego es sencillo: al despertarse, cada hermano tiene que decidir qué ponerse sin comunicarse con el otro. Los objetivos son los siguientes:
Ambos felices 😊 😊: quieren combinar colores.
Ambos de mal humor 😠 😠: definitivamente no quieren combinar.
Uno feliz, uno de mal humor 😊 😠: el feliz animará al otro, y querrán combinar.
Para resumir:
Cada una de las cuatro combinaciones de humor es igualmente probable (25% cada una). Cada hermano solo conoce su propio humor, no el del otro.
La noche anterior, Alice y Bob pueden hacer estrategia juntos, pero una vez que se despiertan no pueden comunicarse para nada. No hay forma de predecir si alguno estará feliz o de mal humor.
Así que la pregunta es:
- Si un hermano se despierta de mal humor, ¿qué debería ponerse?
- Si un hermano se despierta feliz, ¿qué debería ponerse?
Cómo casi ganar
Resulta que una estrategia muy sencilla ya permite que Alice y Bob ganen el 75% de las veces:
Vístanse siempre de azul.
Piénsalo. Tres de las cuatro combinaciones de humor quieren que combinen, y si ambos siempre se visten de azul, siempre combinan. Solo el caso “ambos de mal humor” (que quiere que no combinen) pierde. Eso es 3 de 4. 75%.
Tasas de victoria · “Vístanse siempre de azul”
debe combinar
100%
debe combinar
100%
debe combinar
100%
no debe combinar
0%
Tres de cada cuatro combos ganan siempre. Un combo (ambos de mal humor) pierde siempre. Tasa de victoria promedio: 75%.
¿Podemos mejorar?
No sin lo cuántico. 75% es lo mejor que cualquier estrategia clásica puede lograr. Cualquier plan acordado, cualquier información privada, cualquier aleatoriedad compartida de antemano, nada de eso los pone por encima del 75%.
Es una cota superior. Se ha demostrado imposible.
Cómo ganar
¿Y si Alice y Bob compartieran un par de qubits entrelazados? Resulta que pueden ganar el ~85% de las veces.
Eso es impactante. Sabemos que no se puede enviar información a través del entrelazamiento. Y aun así, los qubits entrelazados superan el límite clásico en 10 puntos porcentuales. Algo real se está compartiendo entre Alice y Bob que no puede reducirse a ninguna estrategia clásica acordada de antemano.
Esa brecha, entre el 75% y el 85%, es lo que John Clauser, Alain Aspect y Anton Zeilinger se pasaron la carrera midiendo. Demostraron que los qubits realmente entrelazados sí superan la cota clásica. Eso es lo que les valió el Premio Nobel de Física 2022.
Veamos cómo funciona.
Digamos que Alice y Bob tienen, cada uno, un qubit entrelazado. El entrelazamiento es simple: si Alice o Bob miden su qubit y resulta apuntar en cierta dirección, el otro qubit colapsará a la dirección opuesta. Eso es lo único que tienen.
¿Cómo pueden usar este comportamiento para ganar el juego?
En la visualización de abajo, hemos etiquetado distintos puntos de la esfera con colores. Si Alice o Bob miden sus qubits y apuntan hacia el rojo, se visten de rojo, y viceversa para el azul. Alice y Bob miden en ejes distintos según estén de mal humor o felices. Fíjate en que los ejes de Bob están rotados 45° respecto a los de Alice.
Si siguen este procedimiento, con los ejes definidos abajo, ganarán de hecho el 85% de las veces, sin importar quién esté feliz o de mal humor.
How to play
Alice and Bob each hold one half of an entangled pair.
You get to choose Alice and Bob's moods, and see if they get it right! Go ahead and measure Bob and Alice's qubit in the appropriate directions by pressing the buttons. Then, repeat that experiment many more times by pressing the button that appears! The results are tracked below in the grid. Try all four combinations of moods, and see what accuracies you get!
No measurements yet.
No measurements yet.
Alice y Bob pueden elegir cada uno una medición. Los ejes de Bob están rotados 45° respecto a los de Alice, y sus colores están invertidos.
Por qué funciona
Esto funciona por el entrelazamiento y por cómo hemos elegido los ejes de medición.
Aquí va un resumen, en el que profundizaremos abajo:
- Empezamos con nuestros qubits en el “estado singlete,” que está perfectamente anticorrelacionado. Lo notable es que, cuando una persona mide su qubit, el segundo qubit colapsa al punto exactamente opuesto.
- Tras el colapso del segundo qubit, hemos colocado las etiquetas rojo/azul alrededor de la esfera de modo que el color correcto está siempre a solo 45° del estado colapsado. ¡Así, hay un 85% de probabilidad de obtener el color adecuado!
Recuerda la figura de probabilidades de colapso de un solo qubit:
Ahora podemos mirar todas las opciones para Alice, que asumimos mide primero. (Sería igual si Bob midiera primero.) Para cada opción del estado de ánimo de Alice y su resultado (a la izquierda), mostramos las probabilidades de que Bob obtenga cada color si está de mal humor o feliz. Fíjate en que el color correcto siempre está a solo 45° para él.
Llevándolo a las matemáticas
Las matemáticas son cortas y no necesitas mucho conocimiento previo para seguirlas. Tres ideas:
1. El singlete, escrito
Los físicos escriben el singlete, el par especial que comparten Alice y Bob, así:
Léelo así. <tex01/> significa “el qubit de Alice es 0 y el de Bob es 1.” <tex10/> significa lo contrario. El singlete es una mezcla 50/50 de esos dos, pero una mezcla especial.
La propiedad que lo define: mide ambos qubits a lo largo del mismo eje y siempre obtienes resultados opuestos. Esa es la regla de “perfectamente anticorrelacionado” que hemos estado usando. Lo interesante es que esto funciona para cualquier eje que elijan, no solo una dirección específica.
2. Cálculo de las probabilidades
La mecánica cuántica da una regla para el resultado conjunto. Digamos que el eje de Alice apunta a lo largo del vector unitario <texA/> (así que su resultado <texPlus1/> es el estado de qubit <texKetA/>) y el de Bob a lo largo de <texB/>. La probabilidad de que Alice mida su qubit como <texKetA2/> y Bob mida el suyo como <texKetB/>, partiendo del singlete, es el cuadrado del producto interno de ese estado conjunto con el singlete:
Esta es la regla de Born aplicada al estado conjunto. Sustituye el singlete, desarrolla el álgebra y todo colapsa a una forma cerrada limpia:
donde <texTheta/> es el ángulo entre los ejes de medición de Alice y Bob. Dos comprobaciones rápidas: mismo eje (<texZero/>) da cero, lo que confirma la regla de anticorrelación (los dos no pueden obtener nunca <texPlus1/>). Ejes opuestos (<tex180/>) dan 1/2, lo que dice que siempre coinciden al medir direcciones opuestas.
3. Pruébalo a 45°
En nuestra configuración, los ejes de Alice son vertical y horizontal; los de Bob están rotados 45° respecto a los de ella. Así que tres de las cuatro combinaciones de humor tienen <texTheta/>. Sustituyendo:
Esa es la probabilidad de que tanto Alice como Bob obtengan el resultado <texPlus1/>. Como los colores de Bob están invertidos respecto a los de Alice, el mismo valor de medición significa color distinto: no combinan. Los casos en los que combinan son aquellos en los que Alice y Bob obtienen valores de medición opuestos, y sumando esas dos probabilidades conjuntas se obtiene:
Ese es el 85% en cada fila de la figura de arriba. El cuarto caso, “ambos de mal humor,” da lo mismo por simetría, ya que el juego invierte ahí la condición de victoria.
Sostenlas
Dos qubits que puedes sostener en tus manos.
Qubi es un qubit modelo. Empareja un par, ejecuta las puertas y construye, al tacto, la intuición que esta guía acaba de exponer.