En esta guía aprenderás el modelo matemático que usamos para representar qubits. El modelo fue inventado por un matemático brillante llamado John von Neumann, y ha resultado extremadamente exitoso. Ha sido puesto a prueba una y otra vez, y sigue prediciendo el mundo con precisión. ¡Eso es lo que hace que un modelo sea bueno!
P. D. Mucha gente confunde el modelo con los qubits. Piensan que un qubit es las matemáticas que verás a continuación. Es un malentendido sencillo. La física es el campo dedicado a construir modelos matemáticos que representen con precisión lo que vemos en la naturaleza. Los qubits son objetos físicos reales que ni siquiera empezamos a comprender. Las matemáticas de abajo son solo un modelo — una herramienta — que hemos construido para predecir su comportamiento.
El qubit individual
Hay dos formas comunes de escribir el estado de un qubit: una es intuitiva y la otra es extremadamente útil. La intuitiva es escribir su vector de Bloch, un vector en el espacio 3D — puedes aprender todo sobre él en la guía ¿qué es un qubit?. Es fácil de imaginar, pero choca con limitaciones serias cuando intentas representar qubits mientras están entrelazados. Por eso, para trabajo serio, usamos lo que se conoce como notación de vector de estado.
La notación de vector de estado es agradable porque se basa en lo que podrían ser nuestros resultados de medición si midiéramos el qubit.
Paso 1: elegir los resultados de medición
El primer paso es elegir qué podrían ser los resultados de nuestra medición cuántica. Por ejemplo, en el famoso experimento de Stern-Gerlach, Stern y Gerlach medían si el espín de un electrón apuntaba hacia arriba o hacia abajo. Sus resultados de medición eran arriba o abajo.
Les damos nombres a esos dos resultados. Por convención, los escribimos en notación ket:
|0⟩
Se lee «ket cero». Nuestra convención para el primer resultado — por ejemplo,
arribaen Stern-Gerlach.|1⟩
Se lee «ket uno». El otro resultado — por ejemplo,
abajoen Stern-Gerlach.
Paso 2: escribir el estado como un vector
Un vector de estado es simplemente un vector cuyas entradas corresponden a cuánto peso (o amplitud) hay sobre cada resultado de medición. La 1ª entrada corresponde a la amplitud de |0⟩, y la 2ª entrada a la amplitud de |1⟩.
Visualizamos los dos resultados como dos ejes perpendiculares (|0⟩ y |1⟩) y el estado |ψ⟩ como un vector en ese plano.
En forma de ket escribiríamos lo mismo como |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩. Como vector columna es simplemente [α, β].
|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ ⇔ [α, β]
Las amplitudes no son probabilidades
Amplitud es un concepto al que te acostumbrarás. La amplitud no es una probabilidad — es la «raíz cuadrada» de una probabilidad. Por ejemplo, si un estado tiene amplitud 1/√2 para |0⟩, la probabilidad de medir |0⟩ es (1/√2)² = 1/2 = 50 %. Esto se conoce como la regla de Born.
P(measure |0⟩) = |α|2
P(measure |1⟩) = |β|2
Vectores de estado de ejemplo
Todo el peso sobre |0⟩
[1, 0]
Probabilidad de medir
|0⟩=1² = 100 %.Todo el peso sobre |1⟩
[0, 1]
Probabilidad de medir
|1⟩=1² = 100 %.Superposición equilibrada
[1/√2, 1/√2]
(1/√2)² = 1/2de probabilidad para cada resultado. 50/50.Una superposición compleja
[1/√2, i/√2]
Sigue siendo 50/50 — la magnitud al cuadrado
|i/√2|² = 1/2— pero la fase de la segunda entrada es distinta.Una superposición desequilibrada
[√0.3, √0.7]
(√0,3)² = 30 %para|0⟩,(√0,7)² = 70 %para|1⟩.
Fíjate en algo importante: en cada ejemplo anterior, las amplitudes al cuadrado suman 1. No es una coincidencia, es una regla estricta. Las probabilidades de todos los resultados posibles deben sumar 100 %, por tanto:
|α|2 + |β|2 = 1
Y las amplitudes pueden ser números complejos. La regla de Born con amplitudes complejas usa la magnitud al cuadrado |α|² = α·α* en lugar de solo α².
La fase global no importa
Escribir vectores de estado así trae consigo una pequeña redundancia. Si multiplicas todas las amplitudes por el mismo número complejo de magnitud 1 (un «factor de fase» como -1, i o e^(iπ/3)), describes el mismo estado físico. La regla de Born depende de |amplitud|², así que multiplicar cada amplitud por un factor de magnitud unitaria no cambia ninguna probabilidad de medición.
Este factor compartido se llama fase global. Dos vectores de estado que difieren solo en una fase global son físicamente indistinguibles — predicen exactamente los mismos resultados para cualquier medición posible.
Múltiples qubits
Ahora vamos a aprender a representar el estado de varios qubits. Lo único que hacemos es crear una nueva dimensión por cada combinación posible de resultados de medición.
Así que el vector que representa cualquier estado tiene 2ⁿ entradas para n qubits. Este vector también se llama vector de estado. Igual que en el caso de un solo qubit, sus entradas pueden ser complejas, y sus magnitudes al cuadrado deben sumar 1.
statevector dimension = 2n
Para dos qubits, los cuatro resultados son |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩, así que el vector de estado tiene 4 entradas. Para tres qubits: 8 entradas. Para diez qubits: 1024 entradas. La dimensión crece exponencialmente con el número de qubits — y por eso simular sistemas cuánticos grandes en una computadora clásica es tan difícil.
Operaciones
Toda operación realizada sobre un sistema cuántico tiene que tomar un vector de estado y devolver un vector de estado. Y el nuevo vector de estado también debe satisfacer todas las reglas de un vector de estado — incluido vivir en la esfera unitaria.
Si la operación es lineal, puede representarse como una matriz. La restricción es que la entrada y la salida deben tener norma 1. Las matrices que preservan la esfera unitaria se llaman unitarias.
Aplicamos una operación a un vector de estado con la multiplicación matricial: toma la matriz unitaria U, multiplícala por el vector de estado |ψ⟩, y el resultado U|ψ⟩ es el nuevo vector de estado.
|ψ’⟩ = U|ψ⟩
Mediciones
El último tipo de operación que hacemos sobre una computadora cuántica es una medición — así extraemos información del sistema cuántico.
Para hacer una medición, tres pasos:
- Calcular la probabilidad de cada resultado posible usando la regla de Born (
|amplitud|²). - Muestrear aleatoriamente un resultado usando esas probabilidades.
- Sustituir el vector de estado por el vector unitario que corresponde al resultado muestreado.
Por ejemplo, midiendo el estado |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + (1/√2)|1⟩: obtenemos |0⟩ con un 50 % de probabilidad y |1⟩ con un 50 %. Si muestreamos |0⟩, el vector de estado después de la medición es simplemente |0⟩ = [1, 0]. La superposición desaparece — eso es lo que la gente quiere decir cuando dice que una medición «colapsa» el estado.
Por dónde continuar
Tres buenos pasos siguientes:
- ¿Qué es la esfera de Bloch? se toma en serio la imagen geométrica 3D para un solo qubit.
- La puerta de Hadamard es una de las operaciones unitarias más importantes — convierte
|0⟩en(1/√2)|0⟩ + (1/√2)|1⟩, la superposición equilibrada. - ¿Qué es el entrelazamiento cuántico? muestra qué le pasa al vector de estado de múltiples qubits cuando dos qubits quedan correlacionados.