A situação
Alice e Bob são irmãos que adoram combinar cores. Toda manhã, cada um veste vermelho ou azul.
Só que: eles são bem temperamentais. Cada um tem 50% de chance de acordar feliz 😊 ou de mau humor 😠.
O jogo é simples: ao acordar, cada irmão precisa decidir o que vestir sem se comunicar com o outro. Os objetivos são os seguintes:
Os dois felizes 😊 😊: eles querem combinar as cores.
Os dois de mau humor 😠 😠: eles definitivamente não querem combinar.
Um feliz, um de mau humor 😊 😠: o feliz vai animar o outro, e eles vão querer combinar.
Resumindo:
Cada uma das quatro combinações de humor é igualmente provável (25% cada). Cada irmão só conhece o próprio humor, não o do outro.
Na noite anterior, Alice e Bob podem combinar uma estratégia, mas, uma vez que acordam, não podem se comunicar de jeito nenhum. Não há como prever se algum dos dois vai estar feliz ou de mau humor.
Então a pergunta é:
- Se um irmão acordar de mau humor, o que ele deveria vestir?
- Se um irmão acordar feliz, o que ele deveria vestir?
Como quase vencer
Acontece que uma estratégia muito simples já permite a Alice e Bob ganharem 75% das vezes:
Vista sempre azul.
Pense bem. Três das quatro combinações de humor querem que eles combinem, e se os dois sempre vestem azul, sempre combinam. Só o caso “os dois de mau humor” (que quer que eles não combinem) perde. Isso é 3 de 4. 75%.
Taxas de vitória · “Vista sempre azul”
deve combinar
100%
deve combinar
100%
deve combinar
100%
não deve combinar
0%
Três de quatro combos vencem sempre. Um combo (os dois de mau humor) perde sempre. Taxa média de vitória: 75%.
Dá para fazer melhor?
Não sem o quântico. 75% é o melhor que qualquer estratégia clássica consegue. Qualquer plano combinado, qualquer informação privada, qualquer aleatoriedade compartilhada antes — nada disso os faz passar de 75%.
Isso é um limite superior. Já foi provado impossível.
Como vencer
E se Alice e Bob compartilhassem um par de qubits emaranhados? Acontece que eles podem vencer ~85% das vezes.
Isso é chocante. Sabemos que nenhuma informação pode ser enviada pelo emaranhamento. Mesmo assim, qubits emaranhados batem o limite clássico em 10 pontos percentuais. Algo real está sendo compartilhado entre Alice e Bob que não dá para reduzir a nenhuma estratégia clássica combinada de antemão.
Essa lacuna, entre 75% e 85%, é o que John Clauser, Alain Aspect e Anton Zeilinger passaram a carreira medindo. Eles mostraram que qubits realmente emaranhados batem mesmo o limite clássico. Foi o que lhes rendeu o Prêmio Nobel de Física de 2022.
Vamos ver como funciona.
Digamos que Alice e Bob têm, cada um, um qubit emaranhado. O emaranhamento é simples: se Alice ou Bob medirem o próprio qubit e ele estiver apontando em alguma direção, o outro qubit vai colapsar para a direção oposta. Isso é tudo o que eles têm.
Como podem usar esse comportamento para vencer o jogo?
Na visualização abaixo, marcamos pontos diferentes da esfera com cores. Se Alice ou Bob medir o qubit e ele apontar para o vermelho, eles vestem vermelho, e vice-versa para o azul. Alice e Bob medem em eixos diferentes dependendo de estarem de mau humor ou felizes. Repare que os eixos de Bob estão rotacionados 45° em relação aos de Alice.
Se eles seguirem esse procedimento, com os eixos definidos abaixo, eles vão de fato vencer 85% das vezes, independentemente de quem esteja feliz ou de mau humor.
How to play
Alice and Bob each hold one half of an entangled pair.
You get to choose Alice and Bob's moods, and see if they get it right! Go ahead and measure Bob and Alice's qubit in the appropriate directions by pressing the buttons. Then, repeat that experiment many more times by pressing the button that appears! The results are tracked below in the grid. Try all four combinations of moods, and see what accuracies you get!
No measurements yet.
No measurements yet.
Alice e Bob podem escolher cada um uma medição. Os eixos de Bob estão rotacionados 45° em relação aos de Alice, e suas cores estão invertidas.
Por que isso funciona
Isso funciona por causa do emaranhamento e da forma como escolhemos os eixos de medição.
Aqui vai um resumo, no qual vamos nos aprofundar abaixo:
- Começamos com nossos qubits no “estado singleto,” que é perfeitamente anticorrelacionado. Em particular, quando uma pessoa mede seu qubit, o segundo qubit colapsa para o ponto exatamente oposto.
- Depois do colapso do segundo qubit, posicionamos os rótulos vermelho/azul em volta da esfera de modo que a cor correta está sempre a só 45° do estado colapsado. Assim, há 85% de chance de obter a cor certa!
Lembre da figura de probabilidades de colapso de um qubit:
Agora podemos ver todas as opções para Alice, que vamos supor que mede primeiro. (Seria igual se Bob medisse primeiro.) Para cada opção do humor de Alice e o resultado dela (à esquerda), mostramos as probabilidades de Bob obter cada cor se estiver de mau humor ou feliz. Repare que a cor certa está sempre a só 45° para ele.
Mapeando para a matemática
A matemática é curta, e você não precisa de muita base para acompanhá-la. Três ideias:
1. O singleto, escrito
Os físicos escrevem o singleto, o par especial que Alice e Bob compartilham, assim:
Leia assim. <tex01/> significa “o qubit de Alice é 0 e o de Bob é 1.” <tex10/> significa o oposto. O singleto é uma mistura 50/50 desses dois, mas uma mistura especial.
A propriedade que o define: meça os dois qubits no mesmo eixo e você sempre obtém resultados opostos. Essa é a regra de “perfeitamente anticorrelacionado” que estamos usando. O que vale saber é que isso vale para qualquer eixo que eles escolherem, não só uma direção específica.
2. Calculando as probabilidades
A mecânica quântica dá uma regra para o resultado conjunto. Suponha que o eixo de Alice aponte ao longo do vetor unitário <texA/> (então o resultado <texPlus1/> dela é o estado de qubit <texKetA/>) e o de Bob ao longo de <texB/>. A probabilidade de Alice medir o qubit dela como <texKetA2/> e Bob medir o dele como <texKetB/>, partindo do singleto, é o produto interno ao quadrado desse estado conjunto com o singleto:
Essa é a regra de Born aplicada ao estado conjunto. Substitua o singleto, expanda a álgebra, e tudo colapsa em uma forma fechada limpa:
onde <texTheta/> é o ângulo entre os eixos de medição de Alice e Bob. Duas conferidas rápidas: mesmo eixo (<texZero/>) dá zero, o que confirma a regra de anticorrelação (os dois nunca podem obter <texPlus1/>). Eixos opostos (<tex180/>) dão 1/2, o que diz que eles sempre concordam ao medir direções opostas.
3. Testando em 45°
Na nossa configuração, os eixos de Alice são vertical e horizontal; os de Bob estão rotacionados 45° em relação aos dela. Então três das quatro combinações de humor têm <texTheta/>. Substituindo:
Essa é a chance de Alice e Bob obterem o resultado <texPlus1/>. Como as cores de Bob estão invertidas em relação às de Alice, mesmo valor de medição significa cor diferente: não combinam. Os casos que combinam são quando Alice e Bob obtêm valores de medição opostos, e somando essas duas probabilidades conjuntas dá:
Esse é o 85% em cada linha da figura acima. O quarto caso, “os dois de mau humor,” dá no mesmo por simetria, já que o jogo inverte a condição de vitória ali.
Segure-os
Dois qubits que você pode segurar nas mãos.
O Qubi é um qubit modelo. Junte um par, rode as portas e construa, pelo tato, a intuição que esta guia acabou de mostrar.