Is the Bloch sphere a real, physical sphere?

No. The Bloch sphere is a mathematical visualization of a single-qubit state, not a physical object. Every pure state of one qubit corresponds to exactly one point on the surface of the unit sphere. Some quantum technologies (like Qubi) build a tangible model of it, but the underlying object lives in math.

What does a point on the Bloch sphere represent?

A direction. The arrow from the center of the sphere to a point on the surface tells you everything measurable about a pure single-qubit state: the probability of every measurement outcome, in every basis. The north pole is |0⟩, the south pole is |1⟩, and points around the equator are equal-weight superpositions with different relative phases.

How do you compute the Bloch vector from a state?

Write the state as |ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩. Then the Bloch vector is (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ). θ is the polar angle from the z-axis and φ is the azimuthal angle from the x-axis. Equivalently, x = ⟨X⟩, y = ⟨Y⟩, z = ⟨Z⟩ — the expectation values of the three Pauli operators.

Why is it called the Bloch sphere?

Named after Felix Bloch, the Swiss-American physicist who introduced the representation in 1946 in the context of nuclear magnetic resonance. The same geometry was independently used by Henri Poincaré for the polarization of light, so it's sometimes called the Bloch–Poincaré sphere.

Does the Bloch sphere only work for one qubit?

Yes — the surface picture is exact only for a single qubit. Two qubits live in a 6-dimensional state space that can't be drawn this cleanly. Useful generalizations exist (e.g., projecting one qubit at a time), but no two-qubit picture preserves all the same intuition.

Is the Bloch sphere only for pure states?

The surface represents pure states. Mixed states — statistical mixtures of pure states — sit inside the sphere. The whole solid ball is the Bloch ball; the maximally mixed state sits exactly at the center.

Esfera de Bloch — Visualizador interativo e guia em linguagem clara

Vou ser o primeiro a admitir: qubits são difíceis de entender. Todos nós precisamos de boas visualizações para colocar coisas complicadas na cabeça.

A representação de Bloch é um mapeamento simples entre estados de qubit e pontos em uma esfera.

Single-qubit state

|ψ⟩ = 0.87 |0⟩ + 0.50 e^iφ |1⟩

0.33π

π/4

Try moving the sliders to see how the Bloch sphere changes!

Bloch sphere

Esfera de Bloch interativa: arraste os controles deslizantes de θ e φ para ver como um estado de um qubit se move sobre a esfera.

A esfera de Bloch ajuda com duas ideias importantes de intuição.

Intuição nº 1

Se você medir o qubit, a probabilidade de obter um resultado depende de quanto a seta está alinhada com a direção desse resultado. Por exemplo, um ponto no polo norte tem 100% de chance de medir <ket0/>; um ponto no equador dá chance de 50/50.

No polo norte

100% de chance de medir <ket0/>

No equador

50/50 de chance de medir <ket0/> ou <ket1/>

(mas 100% de chance de medir <ketPlus/>)

Você não precisa saber disso, mas a regra exata é <math/>, em que α é o ângulo entre a seta e a direção do resultado. Isso é conhecido como a regra de Born.

Intuição nº 2

A mesma regra de alinhamento vale para qualquer direção de medida, não só para cima e para baixo. Cada eixo que passa pela esfera define um par de resultados de medida em seus dois polos. Meça ao longo do eixo x e os resultados são <ketPlus/> e <ketMinus/>. Meça ao longo do eixo y e são <ketPlusI/> e <ketMinusI/>.

Como a gente calcula a representação de Bloch?

A gente sabe que pode escrever o estado de um qubit assim:

|ψ⟩ = α |0⟩ + β |1⟩

α e β são números complexos, com |α|² + |β|² = 1

A partir dessas duas amplitudes complexas, conseguimos calcular θ e φ:

Escreva α = |α| e^i φ_α e β = |β| e^i φ_β

então

θ = 2 arccos(|α|)·φ = φ_β − φ_α

Para ir dos ângulos de Bloch a um vetor de estado:

|ψ⟩ = cos(θ/2) |0⟩ + e^iφ sin(θ/2) |1⟩

θ ∈ [0, π] inclina você entre |0⟩ no topo e |1⟩ no fundo. φ ∈ [0, 2π) gira você ao redor do equador.

Portas e medidas

Quando você olha os qubits pela esfera de Bloch, muita coisa da matemática da computação quântica fica intuitiva.

Portas de um qubit são apenas rotações. Toda porta de um qubit é uma rotação 3D rígida da esfera em torno de algum eixo, por algum ângulo. Escolha uma porta abaixo e veja o vetor de estado fazer um arco até a nova direção.

Click a gate to watch the state vector rotate.

Esfera de Bloch interativa com botões de portas quânticas: clique em H, X ou Y para aplicar uma porta e ver o vetor de estado girar.

Medidas colapsam a esfera para o par de pontos antípodas ao longo do qual você mede. Meça ao longo de z e o estado vai para <ket0/> ou <ket1/>. Ao longo de x, vai para <ketPlus/> ou <ketMinus/>. A probabilidade de cada resultado é dada por quanto a seta do estado atual já se inclina para aquele polo.

Pick an axis. The state collapses to one of the two opposite poles along it, with probability set by where the vector currently points.

Demonstração de medida na esfera de Bloch: escolha um eixo para projetar o estado e veja-o colapsar para um de dois polos opostos.

Existem esferas de Bloch na vida real?

Sim. Para alguns tipos de qubits, a esfera de Bloch não é uma metáfora.

O exemplo mais claro é um qubit de spin eletrônico. Elétrons são pequenos ímãs: têm um momento magnético que aponta em alguma direção do espaço 3D. Essa direção é o vetor de Bloch. Polo norte da esfera de Bloch = spin apontando para cima no laboratório. Polo sul = spin apontando para baixo. Qualquer outro lugar na esfera = spin apontando para outro lado.

A direção do spin de um elétron mapeia um-para-um em um vetor de Bloch.

Algumas pessoas mais rigorosas observariam que, embora seja útil pensar no spin do elétron como apontando em uma direção, só dá para medir spin como “para cima” ou “para baixo” ao longo do eixo que você escolher. Então, falando estritamente, o spin não “aponta” para lugar nenhum até você medir.

Quando físicos escrevem o estado de um elétron desses, eles costumam ir e voltar: converter a direção do laboratório em (θ, φ), tirar o vetor de estado da fórmula, fazer alguma álgebra e depois converter de volta.

O que é fase relativa?

Fase relativa é o nome dado à diferença entre as fases de α e β, quando escrevemos o vetor de estado assim:

|ψ⟩ = |α| e^i φ_α |0⟩ + |β| e^i φ_β |1⟩

A fase relativa é φ = φ_β − φ_α.

É difícil sentir o que a fase relativa de fato faz, até você olhar como o formalismo do vetor de estado foi inventado de início.

A forma usual de escrever um estado quântico, <ketPsi/> = α<ket0/> + β<ket1/>, foi inventada por John von Neumann, frequentemente chamado de uma das mentes mais brilhantes do século XX. Mas até o próprio von Neumann passou a duvidar de que essa fosse a forma certa de descrever a mecânica quântica. Em 1935 ele escreveu ao matemático Garrett Birkhoff:

John von Neumann em Los Alamos — — John von Neumann, carta a Garrett Birkhoff, 1935.

A esfera de Bloch é mais intuitiva: ela mapeia diretamente como os qubits realmente se comportam. Então a fase relativa em um vetor de estado é mais bem entendida como a maneira do formalismo de carregar o resto da informação da esfera de Bloch.

Se só guardássemos α e β como números reais, eles só dariam as probabilidades na base <ket0/>/<ket1/>. Mas podemos medir em qualquer base (incluindo <ketPlus/>/<ketMinus/> e <ketPlusI/>/<ketMinusI/>), e para prever esses resultados também precisamos saber φ.

Fase relativa, em um vetor de estado, é só uma forma de guardar o resto da informação 3D da esfera de Bloch. Ela está embutida no vetor de estado de um jeito que se estende com facilidade para mais de um qubit, o que veremos na próxima parte.

Se as esferas de Bloch são tão intuitivas, por que usar vetores de estado?

Embora vetores de estado sejam menos intuitivos, eles deixam a gente lidar com vários qubits com facilidade. Há regras simples para combiná-los, manipulá-los e por aí vai. Eles também se encaixam muito bem em um computador.

Lembro de uma frase do matemático Michael Atiyah sobre a troca entre geometria e álgebra:

“A álgebra é a oferta feita pelo diabo ao matemático. O diabo diz: eu vou te dar esta máquina poderosa, ela responderá a qualquer pergunta que você quiser. Tudo o que você tem que fazer é me dar a sua alma: abra mão da geometria e você terá esta máquina maravilhosa.”

— Michael Atiyah, Mathematical Intelligencer 24:1 (2002).

Vetores de estado seguem a mesma lógica. Você abre mão da sua intuição visual e ganha uma forma de rastrear emaranhamento só com números. Por enquanto, a gente faz essa troca com gosto a partir de dois qubits. Para um qubit, a esfera de Bloch dá conta.

Para mais sobre visualizações multi-qubit, leia o nosso whitepaper sobre visualização de estados multi-qubit.

Nota lateral: graus de liberdade

Por que um estado de um qubit, que é descrito por quatro números reais, se reduz tão limpinho a apenas dois ângulos em uma esfera?

Começa com 4 números reais. <alpha/> tem dois números reais, e <beta/> também tem dois.

Menos a normalização, sobram 3. Como |<alpha/>|² + |<beta/>|² = 1, isso remove um grau de liberdade.

Menos a fase global, sobram 2. Como você já deve saber, multiplicar um vetor de estado por qualquer fase global não afeta nada. Por isso, removemos mais um grau de liberdade.

É isso. Dois graus reais de liberdade, e eles são exatamente θ e φ na esfera.

Como funciona uma esfera de Bloch modelo?

O Qubi é um modelo interativo de mão de um qubit. Quando o qubit não está emaranhado com outros qubits, ele te mostra a sua representação na esfera de Bloch com uma luzinha branca!

É um jeito ótimo de construir uma intuição forte sobre o tema deste guia e muito mais.

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Perguntas frequentes sobre a esfera de Bloch

A esfera de Bloch é uma esfera física real?+

Não. A esfera de Bloch é uma visualização matemática do estado de um qubit, não um objeto físico. Todo estado puro de um qubit corresponde a exatamente um ponto na superfície da esfera unitária. Algumas tecnologias quânticas (como o Qubi) constroem um modelo tangível, mas o objeto subjacente vive na matemática.

O que um ponto na esfera de Bloch representa?+

Uma direção. A seta do centro da esfera até um ponto na superfície te diz tudo o que se pode medir sobre um estado puro de um qubit: a probabilidade de cada resultado de medida, em cada base. O polo norte é <ket0/>, o polo sul é <ket1/>, e os pontos no equador são superposições com pesos iguais e fases relativas diferentes.

Como você calcula o vetor de Bloch a partir de um estado?+

Escreva o estado como <formula1/>. Então o vetor de Bloch é <formula2/>. θ é o ângulo polar a partir do eixo z e φ é o ângulo azimutal a partir do eixo x. Equivalente: as componentes do vetor de Bloch são os valores esperados dos três operadores de Pauli, ⟨X⟩, ⟨Y⟩, ⟨Z⟩.

Por que se chama esfera de Bloch?+

Recebe o nome de Felix Bloch, o físico suíço-americano que introduziu a representação em 1946 no contexto da ressonância magnética nuclear. A mesma geometria foi usada independentemente por Henri Poincaré para a polarização da luz, por isso às vezes é chamada de esfera de Bloch-Poincaré.

A esfera de Bloch só funciona para um qubit?+

Sim: a imagem da superfície é exata só para um único qubit. Dois qubits vivem em um espaço de estados de 6 dimensões que não dá para desenhar de forma tão limpa. Existem generalizações úteis (por exemplo, projetar um qubit de cada vez), mas nenhuma imagem para dois qubits preserva a mesma intuição.

A esfera de Bloch só serve para estados puros?+

A superfície representa estados puros. Estados mistos, misturas estatísticas de estados puros, ficam dentro da esfera. A bola sólida inteira é a bola de Bloch; o estado maximamente misto fica exatamente no centro.

Quer brincar com uma? Abra o visualizador interativo da esfera de Bloch.

O que é a esfera de Bloch?