Matemática da computação quântica

Existem duas formas comuns de escrever o estado de um qubit: uma é intuitiva e a outra é extremamente útil. A intuitiva é escrever o seu vetor de Bloch, um vetor no espaço 3D — você pode aprender tudo sobre ele no guia o que é um qubit?. É fácil de imaginar, mas esbarra em limitações sérias quando você tenta representar qubits enquanto eles estão emaranhados. Por isso, para qualquer trabalho sério, usamos o que é conhecido como notação de vetor de estado.

A notação de vetor de estado é boa porque parte do que poderiam ser nossos resultados de medição se medíssemos o qubit.

O primeiro passo é escolher quais poderiam ser os resultados da nossa medição quântica. Por exemplo, no famoso experimento de Stern-Gerlach, Stern e Gerlach mediam se o spin de um elétron estava para cima ou para baixo. Os resultados da medição eram para cima ou para baixo.

Damos nomes a esses dois resultados. Por convenção, escrevemos em notação ket:

Um vetor de estado é apenas um vetor cujas entradas correspondem a quanto peso (ou amplitude) existe sobre cada resultado de medição. A 1ª entrada corresponde à amplitude de |0⟩, e a 2ª à amplitude de |1⟩.

Visualizamos os dois resultados como dois eixos perpendiculares (|0⟩ e |1⟩) e o estado |ψ⟩ como um vetor nesse plano.

Em forma de ket escreveríamos a mesma coisa como |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩. Como vetor-coluna é simplesmente [α, β].

Amplitude é um conceito ao qual você vai se acostumar. A amplitude não é uma probabilidade — é a «raiz quadrada» de uma probabilidade. Por exemplo, se um estado tem amplitude 1/√2 para |0⟩, a probabilidade de medir |0⟩ é (1/√2)² = 1/2 = 50%. Isso é a regra de Born.

Observe uma coisa importante: em cada exemplo acima, as amplitudes ao quadrado somam 1. Não é coincidência — é uma regra dura. As probabilidades de todos os resultados possíveis devem somar 100%, logo:

E as amplitudes podem ser números complexos. A regra de Born com amplitudes complexas usa a magnitude ao quadrado |α|² = α·α* em vez de apenas α².

Escrever vetores de estado dessa forma traz uma pequena redundância. Se você multiplicar todas as amplitudes pelo mesmo número complexo de magnitude 1 (um «fator de fase» como -1, i ou e^(iπ/3)), você descreve o mesmo estado físico. A regra de Born depende de |amplitude|², então multiplicar cada amplitude por um fator de magnitude unitária não altera nenhuma probabilidade de medição.

Esse fator compartilhado é chamado de fase global. Dois vetores de estado que diferem apenas por uma fase global são fisicamente indistinguíveis — preveem exatamente os mesmos resultados para qualquer medição possível.

Agora vamos aprender a representar o estado de vários qubits. Tudo o que fazemos é criar uma nova dimensão para cada combinação possível de resultados de medição.

Então o vetor que representa qualquer estado tem 2ⁿ entradas para n qubits. Esse vetor também é chamado de vetor de estado. Assim como no caso de um único qubit, suas entradas podem ser complexas, e suas magnitudes ao quadrado devem somar 1.

Para dois qubits, os quatro resultados são |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩, então o vetor de estado tem 4 entradas. Para três qubits: 8 entradas. Para dez qubits: 1024 entradas. A dimensão cresce exponencialmente com o número de qubits — e é exatamente por isso que simular sistemas quânticos grandes em um computador clássico é tão difícil.

Toda operação feita em um sistema quântico precisa receber um vetor de estado e devolver um vetor de estado. E o novo vetor de estado também precisa satisfazer todas as regras de um vetor de estado — inclusive viver na esfera unitária.

Se a operação for linear, pode ser representada como uma matriz. A restrição é que a entrada e a saída precisam ter norma 1. Matrizes que preservam a esfera unitária são chamadas de unitárias.

Aplicar uma operação a um vetor de estado é multiplicação de matrizes: pegue a matriz unitária U, multiplique pelo vetor de estado |ψ⟩, e o resultado U|ψ⟩ é o novo vetor de estado.

O último tipo de operação que fazemos em um computador quântico é uma medição — é assim que extraímos informação do sistema quântico.

Para fazer uma medição, três passos:

1. Calcular a probabilidade de cada resultado possível usando a regra de Born (|amplitude|²).
2. Amostrar aleatoriamente um resultado usando essas probabilidades.
3. Substituir o vetor de estado pelo vetor unitário correspondente ao resultado amostrado.

Por exemplo, medindo o estado |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + (1/√2)|1⟩: obtemos |0⟩ com 50% de probabilidade e |1⟩ com 50%. Se a amostragem deu |0⟩, o vetor de estado depois da medição é simplesmente |0⟩ = [1, 0]. A superposição desaparece — é isso que as pessoas querem dizer quando falam que uma medição «colapsa» o estado.

Três bons próximos passos:

• O que é a esfera de Bloch? leva a imagem geométrica 3D a sério para qubits isolados.
• A porta de Hadamard é uma das operações unitárias mais importantes — transforma |0⟩ em (1/√2)|0⟩ + (1/√2)|1⟩, a superposição equilibrada.
• O que é emaranhamento quântico? mostra o que acontece com o vetor de estado de múltiplos qubits quando dois qubits ficam correlacionados.